Geom & Comb

Teoria degli insiemi. Operazioni fra insiemi. Applicazioni fra insiemi. Applicazioni iniettive, suriettive, biiettive. Applicazione inversa. Prodotto operatorio di applicazioni. Relazioni su un insieme.

Relazioni di equivalenza. Insieme quoziente.

I numeri interi. Divisibilità. Numeri primi. Il massimo comun divisore. L’algoritmo di Euclide. Congruenza mod m. Proprietà. Criteri di divisibilità. Piccolo teorema di Fermat. Teorema di Eulero. Funzione di Eulero. Risoluzione di congruenze lineari. Teorema cinese del resto. Risoluzione di sistemi di congruenze.

Generalità sui gruppi e sui campi. Anello delle classi resto mod m. Elementi invertibili di Zm . Il campo Zm . Polinomi. Congruenza fra polinomi. L’anello dei polinomi a coefficienti in un campo. Polinomi irriducibili. Teorema di Ruffini. Caratteristica di un campo. Campi di Galois.

Relazioni d’ordine. Reticoli. Algebre di Boole.

Generalità sulle matrici. Matrici quadrate. Matrici simmetriche. Matrici triangolari. Matrici diagonali. Matrici a gradini. Riduzione a gradini di una matrice. Prodotto righe per colonne di matrici. Matrice unità. Matrici invertibili. Determinanti. Proprietà dei determinanti. Teorema di Binet. Regola di Sarrus. Teorema di Laplace. Inversa di una matrice invertibile. Rango di una matrice. Metodo degli orlati per il calcolo del rango. Sistemi lineari. Teorema di Cramer. Teorema di Rouché-Capelli. Risoluzione dei sistemi lineari. Metodo di eliminazione di Gauss.

Spazi vettoriali. Gli spazi Rn. Lo spazio vettoriale delle matrici mxn a coefficienti reali. Lo spazio dei vettori geometrici. Sottospazi di uno spazio vettoriale. Dipendenza e indipendenza lineare di vettori. Basi e dimensione di uno spazio vettoriale. Coordinate di un vettore. Cambiamenti di base. Intersezione e somma di sottospazi. Relazione di Grassmann. Applicazioni lineari. Matrici associate ad applicazioni lineari. Applicazioni lineari associate a matrici. Nucleo e immagine. Relazione fra la dimensione del nucleo e la dimensione dell’immagine. Applicazioni lineari e indipendenza lineare. Endomorfismi. Endomorfismi diagonalizzabili. Matrici diagonalizzabili. Matrici simili. Autovalori ed autovettori di un endomorfismo. Autospazi. Condizioni necessarie e sufficienti per la diagonalizzazione di un endomorfismo. Diagonalizzazione delle matrici simmetriche. Prodotto scalare canonico in Rn. Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.

Vettori geometrici. Sistemi di coordinate nel piano e nello spazio. Riferimenti affini e cartesiani nel piano e nello spazio. Prodotto scalare e prodotto vettoriale di vettori geometrici. Proprietà del prodotto scalare e del prodotto vettoriale. Rappresentazione cartesiana del prodotto scalare e del prodotto vettoriale. Prodotto misto.